Question

如圖，以△ABC的邊AB、AC為邊，向外作等邊△ABD和等邊△ACE，連接BE、CD相交于點F．
求證：（1）△DAC≌△BAE；
（2）BE=DC；
（3）求∠DFE的度數．

Answer 1

分析：（1）由三角形ABD與三角形ACE都為等邊三角形，利用等邊三角形的性質得到兩對邊相等，兩三角形的內角都為60°，利用等式的性質得到∠DAC=∠BAE，利用SAS可得出△DAC≌△BAE，得證；
（2）由△DAC≌△BAE，利用全等三角形的對應邊相等即可得到BE=DC；
（3）由△DAC≌△BAE，利用全等三角形的對應角相等得到∠ACD=∠AEB，而∠DFE為三角形EFC的外角，利用外角的性質列出關系式，等量代換后即可求出其度數．

解答：解：（1）證明：∵△ABD和△ACE都為等邊三角形，
∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=∠AEC=∠ACE=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，

AD=AB ∠DAC=∠BAE AC=AE

，
∴△DAC≌△BAE（SAS）；
（2）∵△DAC≌△BAE，
∴BE=DC；
（3）∵△DAC≌△BAE，
∴∠ACD=∠AEB，
則∠DFE=∠FEC+∠FCE=∠FEC+∠ACD+∠ACE=∠FEC+∠AEB+∠ACE=∠AEC+∠ACE=120°．

點評：此題考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質，以及三角形的外角性質，熟練掌握等邊三角形的判定與性質是解本題的關鍵．