Question

正方形ABCD中，點P是AD上的一動點（與點D、點A不重合），DE⊥CP，垂足為E，EF⊥BE與DC交于點F．

1.求證：△DEF∽△CEB；

2.當點P運動到DA的中點時，求證：點F為DC的中點.

 

Answer 1

 

1.∵ DE⊥CP，EF⊥BE，

∴ ∠1+∠3=∠DEC=90°，∠2+∠3=∠FEB=90°，

∴ ∠1=∠2.                       ……………………………（2分）

∵ 四邊形ABCD是正方形，∴ ∠4+∠6=∠DCB=90°，

                 在Rt△DEC中，∠4+∠5=90°，

∴ ∠5=∠6，                     ……………………………（5分）

∴ △DEF∽△CEB.               ……………………………（6分）

2.∵ 四邊形ABCD是正方形，

∴ 當點P運動到DA的中點時，PD=AD=DC.

∴ 在Rt△PDC中，tan∠4=，

∵ 在Rt△DEC中，tan∠4=，

∴ .               ……………………………（9分）

              ∵ △DEF∽△CEB，

∴ .               ……………………………（11分）

∵ CB=DC， 

∴

∴ 點F為DC的中點.             ……………………………（12分）

 (注：用其它方法求解參照以上標準給分.)

 解析:略