Question

【題目】如圖所示，在 中，∠C＝90°，∠A＝30°．

（1）尺規作圖：作線段AB的垂直平分線l（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）在已作的圖形中，若l分別交AB、AC及BC的延長線于點D、E、F，連接BE，求證：EF＝2DE．

Answer 1

【答案】
（1）

解答：解：如下圖所示，直線l即為所求．

（2）

解答：證明：在 中，∵∠A＝30°，∠ABC＝60°．又∵l為線段AB的垂直平分線，∴EA＝EB，∴∠EBA＝∠A=30°，∠AED＝∠BED=60°，∴∠EBC＝30°＝∠EBA，∠FEC＝60°．又∵ED⊥AB，EC⊥BC，∴ED＝EC．在 中，∠FEC＝60°，∴∠EFC＝30°，∴EF＝2EC，∴EF＝2ED

【解析】由∠A＝30°可證∠F＝30°，因而EF＝2EC，要證EF＝2DE，只要證明EC＝DE就可以．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解線段垂直平分線的性質的相關知識，掌握垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等．