Question

已知：△ACB與△DCE為兩個有公共頂點C的等腰直角三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC，DC=EC．把△DCE繞點C旋轉，在整個旋轉過程中，設BD的中點為N，連接CN．
（1）如圖①，當點D在BA的延長線上時，連接AE，求證：AE=2CN；
（2）如圖②，當DE經過點A時，過點C作CH⊥BD，垂足為H，設AC、BD相交于F，若NH=4，BH=16，求CF的長．

Answer 1

分析：（1）延長CN至點K，使NK=CN，連接DK，利用已知條件證明△DNK≌△BNC，所以可得DK=BC=AC，∠KDC+∠DCB=180°，又因為∠DCK=∠ACE，DK=AC，CD=CE，由三角形的全等可得AE=CK，所以AE=2CN；
（2）延長CN交DE于點P，延長CH交DE于點M，由（1）問可知∠DCN=∠AEC=45°，再由已知條件可證明△DPN≌△CPM，所以DN=CM=20，易證△CHN∽△DHM，所以

NH

HM

=

CH

DH

，
設CH為x，HM為（20-x），所以4×24=x×（20-x），解方程可得CH=8或CH=12，因為tan∠CBH=

CH

BH

=

CF

CB

，所以再分別分①當CH=8時和②當CH=12時，求出符合題意的FC的值即可．

解答：（1）證明：延長CN至點K，使NK=CN，連接DK，
∵∠DCA+∠ACE=90°，∠BCE+∠ACE=90°，
∴∠DCB+∠ACE=180°，
∴∠KDN=∠CBN，
∴DK∥BC，
∵DN=NB，CN=NK，∠DNK=∠BNC，
∴△DNK≌△BNC，
∴DK=BC=AC，
∴∠KDC+∠DCB=180°，
∵∠DCK=∠ACE，
又∵DK=AC，CD=CE，
∵△DNC≌△CAE，
∴AE=CK
∴AE=2CN；

（2）解：延長CN交DE于點P，延長CH交DE于點M，
由（1）問可知∠DCN=∠AEC=45°，
∴∠DCP=∠CDP=45°，
∴∠CPD=90°，DP=CP，
∵∠PDN+∠DNP=90°，∠CNH+∠HCN=90°，
又∵∠CNH=∠DNP，
∴∠PDN=∠PCM，
∴△DPN≌△CPM，
∴DN=CM=20，
∵△CHN∽△DHM，
∴

NH

HM

=

CH

DH

，
設CH為x，HM為（20-x），
∴4×24=x×（20-x），
解得：x₁=8，x₂=12，
∴CH=8或CH=12，
∵tan∠CBH=

CH

BH

=

CF

CB

，
①當CH=8時，FH=NH=4，N、F重合，CH=8舍去；
②當CH=12時，可求CB=20，
∴CF=15．

點評：本題綜合考查了勾股定理，等腰直角三角形，全等三角形的性質和判定以及相似三角形的性質和判定、一元二次方程的運用，等腰三角形的性質等知識點的應用，關鍵是考查學生能根據題意得出規律，題型較好，有一定的難度．