Question

如圖，已知點O在菱形ABCD內，過點O分別作OE⊥AB于E，OF⊥AD于F，且OE=OF．
（1）求證：OB=OD；
（2）把菱形換成矩形、平行四邊形、等腰三角形，上述結論仍成立嗎？（寫出結論，不證明）

Answer 1

分析：（1）根據菱形的性質得出∠BAC=∠DAC，由已知得出∠BAO=∠DAO，推出O在AC上，根據線段垂直平分線性質即可得出結論；
（2）根據矩形、平行四邊形的對角線不一定平分一組對角得出結論不成立，根據等腰三角形性質和線段垂直平分線性質得出是等腰三角形時，結論成立．

解答：（1）證明：連接OA、AC、BD，
∵OE⊥AB，OF⊥AD，且OE=OF，
∴∠BAO=∠DAO，
∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，MB=MD，∠BAC=∠DAC，
∴O在AC上，
∴OB=OD．

（2）解：矩形和平行四邊形時，結論不成立，等腰三角形時，結論成立，
因為：矩形和平行四邊形的對角線不一定平分對角，而等腰三角形的三線合一性質，能得出結論成立．

點評：本題考查了矩形性質、平行四邊形性質、線段垂直平分線性質、菱形性質等知識點的運用，本題題型較好，具有一定的代表性，但是也是一道比較容易出錯的題目．