Question

(2003·江西)如圖所示，有一張矩形紙片ABCD，E、F分別是BC、AD上的點(diǎn)(但不與頂點(diǎn)重合)，若EF將矩形ABCD分成面積相等的兩部分，設(shè)AB=a，AD=b，BE=x．

(1)求證：AF=EC；

(2)用剪刀將該紙片沿直線EF剪開后，再將梯形紙片ABEF沿AB對(duì)稱翻折，平移拼接在梯ECDF的下方，使一底邊重合，一腰落在DC的延長(zhǎng)線上，拼接后，下方梯形記作．

　　①x∶b為何值時(shí)，直線經(jīng)過原矩形的一個(gè)頂點(diǎn)？

　　②在直線經(jīng)過原矩形的一個(gè)頂點(diǎn)的情形下，連接，直線與EF是否平行？你若認(rèn)為平行，請(qǐng)給予證明；你若認(rèn)為不平行，試探究當(dāng)a與b有何種數(shù)量關(guān)系，它們就垂直？

Answer 1

答案：略
解析：

解　(1)∵EF將矩形ABCD分成面積相等的兩部分，則有 　　， 　　， 　　又　EC=b－x， 　　∴AF=EC． (2)①當(dāng)直線經(jīng)過原矩形的頂點(diǎn)D時(shí)，如圖a． a) 　　解法1 　　∵． 　　∴． 　　即，∴． 　　當(dāng)直線經(jīng)過原矩形的頂點(diǎn)A時(shí)，如圖b． 　　∵， 　　∴．∴． 　　即2(b－x)=x＋b， 　　解得． 　　解法2　如圖a，過F和FN⊥BC于N． 　　∵， 　　， 　　∴Rt△FNE≌Rt△DCE． 　　∴NE=EC．又BN=AF=EC， 　　∴．∴． 　　如圖b，過作⊥BC于M． 　　∵， 　　∴． 　　∴BE=EM．∵， 　　∴．∴． 　　∴當(dāng)x∶b的值為或時(shí)，直線經(jīng)過原矩形的一個(gè)頂點(diǎn)． 　　②如圖a，當(dāng)直線經(jīng)過原矩形的頂點(diǎn)D時(shí)，． 　　證明：連接BF．∵∴四邊形BFDE是平行四邊形． 　　．又 ， 　　．又． 　　四邊形是平行四邊形． 　　． 　　如圖b，當(dāng)直線經(jīng)過原矩形的頂點(diǎn)A時(shí)，顯然與EF不平行，設(shè)直線EF與的交點(diǎn)為G． 　　∵， 　　又∠BEG=FEM，∴． 　　若，則． 　　在的情況下，不妨設(shè)∠EBG=α， 　　則． 則有， 　　∴． 　　∵a＞0，b＞0， 　　∴． 　　容易推得，當(dāng)時(shí)，與EF垂直．