Question

已知等邊△ABC和三角形內一點P，設點P到△ABC三邊的距離分別為h₁、h₂、h₃，△ABC的高為h．

（1）請寫出h與h₁、h₂、h₃的關系式，并說明理由；
（2）若點P在等邊△ABC的邊上，仍有上述關系嗎？
（3）若點P在三角形外，仍有上述關系嗎？若有，請你證明，若沒有，請你寫出它們新的關系式，并給予證明．

Answer 1

分析：（1）連接PA，PB，PC，由S_△ABC=S_△PAC+S_△PBC+S_△PAB，可得

1

2

BC•h=

1

2

AB•h₁+

1

2

AC•h₂+

1

2

BC•h₃，又由△ABC是等邊三角形，即可得h=h₁+h₂+h₃；
（2）利用（1）的證明方法，可從P在AC上，則h₂=0，去分析，仍可求得h=h₁+h₂+h₃；
（3）連接PA，PB，PC，則可得S_△ABC=S_△PAC+S_△PBC-S_△PAB，然后利用（1）中的分析方法，即可求得h=h₁+h₂-h₃．

解答：解：（1）連接PA，PB，PC，
則S_△ABC=S_△PAC+S_△PBC+S_△PAB，
∴

1

2

BC•h=

1

2

AB•h₁+

1

2

AC•h₂+

1

2

BC•h₃，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC，
∴h=h₁+h₂+h₃；

（2）仍有h=h₁+h₂+h₃；
理由：如圖：設P在AC上，則h₂=0，
連接PB，
則S_△ABC=S_△PBC+S_△PAB，
∴

1

2

BC•h=

1

2

AB•h₁+

1

2

BC•h₃，
∵△ABC是等邊三角形，
AB=BC=AC，
∴h=h₁+h₃；
即h=h₁+h₂+h₃；

（3）h=h₁+h₂-h₃．
連接PA，PB，PC，
則S_△ABC=S_△PAC+S_△PBC-S_△PAB，
∴

1

2

BC•h=

1

2

AB•h₁+

1

2

AC•h₂-

1

2

BC•h₃，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC，
∴h=h₁+h₂-h₃．

點評：此題考查了等邊三角形的性質與三角形面積的求解方法．此題難度適中，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用，注意輔助線的作法．