Question

23、如圖，已知等邊三角形ABC，在AB上取點D，在AC上取點E，使得AD=AE，作等邊三角形PCD，QAE和RAB，求證：P、Q、R是等邊三角形的三個頂點．

Answer 1

分析：作輔助線連接BP，在易知△ACD≌△CPB的情況下，可證明R，A，Q三點共線，R，B，P三點共線，由此可證明△PQR是等邊三角形．

解答：解：連接BP，易證明△ACD≌△CPB，則AD=BP，
又∠RAB+∠BAC+∠QAE=180°，∴R，A，Q三點共線，
又∠CBP=∠CAD=60°，∠RBA+∠ABC+∠CBP=180°，∴R，B，P三點共線，
而AQ=AE=AD=BP，∴RQ=RA+AQ=RB+BP=RP，
由∠R=60°，∴△PQR是等邊三角形，
即P、Q、R是等邊三角形的三個頂點．

點評：本題考察了等邊三角形的判定與性質，難度較大，關鍵根據題意作出輔助線證明R，A，Q三點共線，R，B，P三點共線．