Question

3．某多面體的三視圖如圖所示，則該多面體的外接球的表面積為41πcm²．

Answer 1

分析 作出幾何體的直觀圖，建立坐標系求出外接球的球心坐標，得出球的半徑，從而得出球的表面積．

解答 解：設ABCD-A₁B₁C₁D₁為棱長為4的正方體，M為A₁B₁的中點，
則三棱錐D-ABM為所求幾何體，
以正方體的頂點B₁為原點建立空間坐標系，如圖所示：
則A（0，4，4），B（0，4，0），D（4，4，4），M（0，0，2），
設棱錐外接球的球心為O（x，y，z），則OA=OB=OD=OM，
∴x²+（y-4）²+（z-4）²=x²+（y-4）²+z²=（x-4）²+（y-4）²+（z-4）²=x²+y²+（z-2）²，
∴x=2，y=，z=2，即O（2，$\frac{5}{2}$，2），
∴外接球的半徑r=OA=$\sqrt{4+\frac{9}{4}+4}$=$\frac{\sqrt{41}}{2}$，
∴外接球的表面積S=4πr²=41π．
故答案為：41π．

點評 本題考查了棱錐的三視圖，球與棱錐的位置關系，屬于中檔題．