Question

【題目】如圖，的內切圓與，，分別相切于點，，，且，，，點在射線上運動，過點作，垂足為．

(1)直接寫出線段，及半徑的長：

(2)設，． 求關于的函數關系式：

(3)當與相切時，求相應的值．

Answer 1

【答案】（1），，的半徑長為1；（2）（），（）；（3）的值為或1．

【解析】

（1）由勾股定理求AC的長度；設⊙O的半徑為r，則r=（AC+BC-AB）；根據圓的切線定理、正方形的判定定理知四邊形CEOF是正方形；然后由正方形的性質證得CF=OF=1，則由圖中線段間的和差關系即可求得AD的長度；

（2）分類討論：①當點P在線段AC上時，通過相似三角形△AHP∽△ACB的對應邊成比例知，，將“PH=x，PC=y”代入求出即可求得y關于x的函數關系式；②當點P在線段AC的延長線上時，同理，利用相似三角形的性質求得y關于x的函數關系式；

（3）根據題意，可分成兩種情況進行①當點在線段上時，與相切；②當點在的延長線上時，與相切；結合圖形和所學的性質，即可求得y值．

解：（1）如圖1，連接AO、DO．設⊙O的半徑為r．

在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=，

則⊙O的半徑r=（AC+BC-AB）=×（4+3-5）=1；

∵CE、CF是⊙O的切線，∠ACB=90°，

∴∠CFO=∠FCE=∠CEO=90°，OF=OE，

∴四邊形CEOF是正方形，

∴CF=OF=1；

又∵AD、AF是⊙O的切線，

∴AF=AD；

∴AF=AC-CF=AC-OF=4-1=3，

即AD=3；

∴，，的半徑長為1．

（2）①如圖，若點在線段上時，

在中，，，，

∵，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴

∴

∴，

∴與的函數關系式是：（）；

②同理，當點在線段的延長線上時，

，此時

則，有

∴，即與的函數關系式是：（）；

（3）①當點在線段上時，如圖2，與相切．

∵，，

∴四邊形是正方形，

∴；

由（1）知，四邊形是正方形，

，

∴，即；

即，解得；

②當點在的延長線上時，如圖，

∴與相切，此時．

綜上所示，當與相切時，的值為或1．