Question

如圖：正方形ABCO的邊長為3，過A（0，3）點(diǎn)作直線AD交x軸于D點(diǎn)，且D點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0），線段AD上有一動點(diǎn)，以每秒一個單位長度的速度移動．
（1）求直線AD的解析式；
（2）若動點(diǎn)從A點(diǎn)開始沿AD方向運(yùn)動2.5秒時到達(dá)的位置為點(diǎn)P，求經(jīng)過B、O、P三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（3）若動點(diǎn)從A點(diǎn)開始沿AD方向運(yùn)動到達(dá)的位置為點(diǎn)P₁，過P₁作P₁E⊥x軸，垂足為E，設(shè)四邊形BCEP₁的面積為S，請問S是否有最大值？若有，請求出P點(diǎn)坐標(biāo)和S的最大值；若沒有，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知了點(diǎn)A、D的坐標(biāo)，可用待定系數(shù)法求出直線AD的解析式．
（2）本題的關(guān)鍵是求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．可先在直角三角形AOD中，用勾股定理求出AD的長，而后根據(jù)P點(diǎn)的速度及運(yùn)動的時間求出AP的長，進(jìn)而可求出PD的長，在直角三角形PED中，可根據(jù)PD的長和∠D的正弦和余弦值求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可根據(jù)B、O、P三點(diǎn)的坐標(biāo)用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．
（3）四邊形BCEP₁是個梯形，可設(shè)出P₁點(diǎn)的坐標(biāo)（設(shè)P₁的橫坐標(biāo)，根據(jù)直線AD的解析式表示出其縱坐標(biāo)），那么OE就是P₁的橫坐標(biāo)，P₁E就是P₁的縱坐標(biāo)，根據(jù)梯形的面積公式即可得出S與P₁的橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而可根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)得出S的最大值以及對應(yīng)的P₁點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b（k≠0），
則

3=b 0=4k+b

，
解得

k=- 3 4 b=3

．
解析式為：y=-

3

4

x+3．

（2）因?yàn)锳P=2.5，AD=5，
所以P（2，1.5），
設(shè)過B，O，P的拋物線為y=ax²+bx+c（a≠0），
將B（-3，3），O（0，0），P（2，1.5），
則

3=9a-3b+c 0=c 4a+2b+c=1.5

，
解得

a= 7 20 b= 1 20 c=0

，
解析式為y=

7

20

x²+

1

20

x．

（3）設(shè)P（x，y），
則y=-

3

4

x+3
S=

1

2

（y+3）×（3+x）
即S=-

3

8

x²+

15

8

x+9
所以P₁（

5

2

，

9

8

）時，S_最大=

363

32

．

點(diǎn)評：本題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)解析式的確定、正方形的性質(zhì)、解直角三角形、圖形面積的求法等知識點(diǎn)．