Question

如圖，正方形ABCO的邊長為

5

，以O為原點建立平面直角坐標系，點A在x軸的負半軸上，點C在y軸的正半軸上，把正方形ABCO繞點O順時針旋轉α后得到正方形A₁B₁C₁O（α＜45°），B₁C₁交y軸于點D，且D為B₁C₁的中點，拋物線y=ax²+bx+c過點A₁、B₁、C₁．
（1）求tanα的值；
（2）求點A₁的坐標，并直接寫出點B₁、點C₁的坐標；
（3）求拋物線的函數表達式及其對稱軸；
（4）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PB₁C₁為直角三角形？若存在，直接寫出所有滿足條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據旋轉的知識可知：四邊形A₁B₁C₁O為正方形，∴OC₁=B₁C₁，∠OC₁B₁=90°，∠C₁OD=∠AOA₁=α，又∵D是B₁C₁的中點，∴C1D=

1

2

B1C1=

1

2

OC1，∴在Rt△C₁OD中，tanα=

C1D

OC1

=

1

2

．∴tanα的值是

1

2

；
（2）根據三角函數與勾股定理即可求得點A₁的坐標，并直接寫出點B₁、點C₁的坐標；要注意方程思想的應用；
（3）將點A₁，B₁，C₁的坐標代入解析式，利用方程組即可求得解析式，再求得對稱軸；
（4）一種是與線段B₁C₁垂直的直線：分別過點B₁、C₁；一種是根據直徑所對的圓周角是直角求得，以線段B₁C₁為直徑作圓，與對稱軸的交點即是所求點．

解答：解：（1）∵四邊形A₁B₁C₁O為正方形，
∴OC₁=B₁C₁，∠OC₁B₁=90度．
又∵D是B₁C₁的中點，
∴C1D=

1

2

B1C1=

1

2

OC1．
∵由旋轉性質可知，∠C₁OD=∠AOA₁=α，
∴在Rt△C₁OD中，tanα=

C1D

OC1

=

1

2

．
∴tanα的值是

1

2

．（2分）

（2）過點A₁作A₁E⊥x軸，垂足為點E．
在Rt△A₁EO中，tanα=

A1E

OE

，
∴

A1E

OE

=

1

2

．
設A₁E=k，則OE=2k，在Rt△A₁EO中，OA1=

5

，
根據勾股定理，得A₁E²+OE²=OA₁²．
即k2+(2k)2=(

5

)2，
解得k₁=-1（舍），k₂=1．
∴A₁E=1，OE=2．
又∵點A₁在第二象限，
∴點A₁的坐標為（-2，1）．（4分）
直接寫出點B₁的坐標為（-1，3），點C₁的坐標為（1，2）．（6分）

（3）∵拋物線y=ax²+bx+c過點A₁，B₁，C₁．
∴

4a-2b+c=1 a-b+c=3 a+b+c=2

解得

a=- 5 6 b=- 1 2 c= 10 3

∴拋物線的函數表達式為y=-

5

6

x2-

1

2

x+

10

3

．（8分）
將其配方，得y=-

5

6

(x+

3

10

)2+

409

120

．
∴拋物線的對稱軸是直線x=-

3

10

．（9分）

（4）存在點P，使△PB₁C₁為直角三角形．（10分）
滿足條件的點P共有4個：P1(-

3

10

，

22

5

)，P2(-

3

10

，-

3

5

)，P3(-

3

10

，

25+2 29

10

)，P4(-

3

10

，

25-2 29

10

)．（14分）

點評：此題屬于中考中的壓軸題，難度較大，知識點考查的較多而且聯系密切，需要學生認真審題．此題考查了二次函數與一次函數，三角形、四邊形的綜合知識，解題的關鍵是要注意數形結合思想的應用．