Question

如圖，正方形ABCO的邊長為

5

，O為原點，BC交y軸于點D，且D為BC邊的中點，拋物線y=ax²+bx+c經過B、C且與y軸的交點為E(0，

10

3

)：
（1）求點C的坐標，并直接寫出點A、B的坐標；
（2）求拋物線的解析式及對稱軸；
（3）探索在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PBC為直角三角形？若存在，直接寫出所有滿足條件的P點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）過C作CF⊥x軸于F，在Rt△OCF中，易證得∠OCF=∠COD，則它們的正切值相同，可得CF=2OF，再根據勾股定理即可求出OF、CF的長，由此可得C點的坐標；同理可求出A、B的坐標；
（2）根據已經求得的A、B、C的坐標，可用待定系數法求出拋物線的解析式，進而可求出其對稱軸方程；
（3）若△PBC是直角三角形，存在三種情況：
①∠PBC=90°，則P點必為直線AB與拋物線對稱軸的交點，可先求出直線AB的解析式，聯立拋物線的對稱軸方程即可求出P點的坐標；
②∠PCB=90°，則P點必為直線OC與拋物線對稱軸的交點，方法同①；
③∠BPC=90°，可以BC為直徑作圓，那么P點即為圓與拋物線對稱軸的交點；可過D作拋物線對稱軸的垂線，設垂足為M，連接DP，根據拋物線的對稱軸即可得到DM的長，而DP是圓的半徑即

1

2

BC長，在Rt△DPM中，即可用勾股定理求出PM的值，進而可求出P點的縱坐標，而P點橫坐標與拋物線的對稱軸的值相同，由此可得到P點的坐標．

解答：解：
（1）過C作CF⊥x軸于F，由△FCO∽△DCO，D是BC中點，
∴CF=2OF，
設OF=x，則x²+（2x）²=5，
解得x=1，
∴C（1，2），（2分）
A（-2，1）、B（-1，3）．（2分）（各1分）

（2）由拋物線y=ax²+bx+c經過A、B，且與y軸交于E（0，

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3

），則有：

4a-2b+c=1 a-b+c=3 c= 10 3

，
解得

a=- 5 6 b=- 1 2 c= 10 3

，
∴拋物線的解析式為y=-

5

6

x2-

1

2

x+

10

3

，（3分）（如結論不對，能求得a、b各1分）
對稱軸為直線x=-

3

10

；（1分）

（3）滿足條件的點P有4個：P₁（-

3

10

，-

3

5

）、P₂（-

3

10

，

22

5

）、P₃（-

3

10

，

25-2 29

10

）、P₄（-

3

10

，

25+2 29

10

）．
（4分）（實際寫出一個給1分）
（注：關于（3），若沒有具體寫出P點坐標，能說出有4個點，給（1分）；若說明為以BC為直徑的圓與對稱軸交點P₃、P₄符合條件，但未求出具體P，也給1分）

點評：此題考查了正方形的性質、勾股定理、二次函數解析式的確定、直角三角形的判定以及函數圖象交點坐標的求法等知識．要注意的是（3）題中，由于直角三角形的直角頂點沒有確定，因此要分類討論，以免漏解．