Question

（13分）如圖1，已知△ABC，AB=AC，以邊AB為直徑的⊙O交BC于點D，交AC于點E，連接DE．

（1）求證：DE=DC．

（2）如圖2，連接OE，將∠EDC繞點D逆時針旋轉，使∠EDC的兩邊分別交OE的延長線于點F，AC的延長線于點G．試探究線段DF、DG的數量關系．

Answer 1

（1）證明見試題解析；（2）DF=DG．

【解析】

試題分析：（1）利用院內接四邊形的性質得到∠DEC=∠B，然后利用等角對等邊得到結論．

（2）利用旋轉的性質及圓內接四邊形的性質證得△EDF≌△CDG后即可得到結論．

試題解析：.（1）∵四邊形ABDE內接于⊙O，∴∠B+∠AED=180°，

∵∠DEC+∠AED=180°，∴∠DEC=∠B，∵AB=AC，∴∠C=∠B，∴∠DEC=∠C，∴DE=DC；

（2）∵四邊形ABDE內接于⊙O，∴∠A+∠BDE=180°，∵∠EDC+∠BDE=180°，∴∠A=∠EDC，

∵OA=OE，∴∠A=∠OEA，∵∠OEA=∠CEF，∴∠A=∠CEF，∴∠EDC=∠CEF，

∵∠EDC+∠DEC+∠DCE=180°，∴∠CEF+∠DEC+∠DCE=180°，即∠DEF+∠DCE=180°，

又∵∠DCG+∠DCE=180°，∴∠DEF=∠DCG，∵∠EDC旋轉得到∠FDG，∴∠EDC=∠FDG，∴∠EDC﹣∠FDC=∠FDG﹣∠FDC，即∠EDF=∠CDG，∵DE=DC，∴△EDF≌△CDG（ASA），∴DF=DG．

考點：1．圓內接四邊形的性質；2．全等三角形的判定與性質；3．等腰三角形的性質．