Question

（本題12分）如圖，△ABC和△CDE均為等腰三角形，AC=BC，CD=CE，AC>CD，∠ACB=∠DCE且點(diǎn)A、D、E在同一直線上，連接BE．

（1）若∠ACB=60°, 則∠AEB的度數(shù)為 ；

線段AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系是 ．

（2）若∠ACB=∠DCE=90°, CM為△DCE中DE邊上的高．

①求∠AEB的度數(shù)．

②若，，試求CM的長(zhǎng)．（請(qǐng)寫全必要的證明和計(jì)算過(guò)程）

 

Answer 1

（1）60°，AD=BE；

（2）①∠AEB =90°，

②在CM=

【解析】

試題分析：（1）∵∠ACB=∠DCE，∠CDB=∠CDB，

∴∠ACD=∠BCE

又∵AC=BC，CD=CE，

∴△ACD≌△BCE（SAS）

∴∠ADC=∠BEC，AD=BE

若∠ACB=60°，則△ABC和△CDE均為等邊三角形，∠ADC=120°，從而∠BEC =120°，∠AEB =60°

故答案為：60°，AD=BE；

（2）①∵∠ACB=∠DCE，∠CDB=∠CDB，

∴∠ACD=∠BCE

又∵AC=BC，CD=CE，

∴△ACD≌△BCE（SAS）

∴∠ADC=∠BEC，AD=BE

若∠ACB=90°，則△ABC和△CDE均為等腰直角三角形，∠ADC=135°，從而∠BEC =135°，∠AEB =135°-45°=90°，

②在等腰直角△ABC中，，由勾股定理知：AB=2，

在等腰直角△AEB中，因?yàn)锽E=1, AB=2，由勾股定理知：AE=，

又因?yàn)锳D=BE=1，所以DE=-1，

因?yàn)椤鰿DE均為等腰直角三角形，CM為△DCE中DE邊上的高，

所以CM= DE=

考點(diǎn)：1.等腰三角形的性質(zhì)2.勾股定理3.三角形的全等的判定及性質(zhì)