Question

如圖，四邊形AFCD是菱形，以AB為直徑的圓O經過點D，E是⊙O上一點，且∠AED=45°．
（1）判斷CD與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若⊙O的直徑為10cm，求AE的長．（sin67.5°=0.92，tan67.5°=2.41，精確到0.1）

Answer 1

解：（1）相切 理由如下：
連接DO，
∵∠AED=45°，
∴∠AOD=90°．
∵四邊形ABCD是菱形，DC∥AB
∴∠COD=∠AOD=90°，
又∵OD是半徑，CD經過點D
∴CD是⊙O的切線．

（2）連接EB，
∵∠DAF=45°，AB為直徑，
∴∠AEB=90°．
又∵四邊形ABCD是菱形，AD=AF，
∵∠ADF=∠AFD=∠ABE=67.5°
∴sin67.5°=，
∴AE=0.92×10=9.2．
分析：（1）連接OD，則∠AOD為直角，由四邊形ABCD是菱形，則AB∥DC．從而得出∠CDO=90°，即可證出答案．
（2）連接BE，利用圓和菱形的性質求得∠ADF的度數，并利用其正切值在Rt△ABE中，求得AE即可．
點評：本題考查了切線的判定和性質、平行四邊形的判定和性質以及圓周角定理，注意輔助線的作法是解此題的關鍵．