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如圖,PQ=3,以PQ為直徑的圓與一個以5為半徑的圓相切于點P,正方形ABCD的頂點A、B在大圓上,小圓在正方形的外部且與CD切于點Q.則AB=   
【答案】分析:連接MA,MP,延長PQM與AB交于E,構建直角三角形,解出直角三角形即可.
解答:解:設大圓的圓心為M點,連接MA,MP,MB,連接PM并延長與AB交于點E,交小圓于Q點,
由對稱性可知P、Q為切點,E為AB的中點;
設AB=2a(正方形的邊長),在直角三角形MAE中,
∵小圓在正方形的外部且與CD切于點Q.
∴PQ⊥CD,
∵CD∥AB,
∴PE⊥AB,
∴AE=BE,
∴AM2=ME2+AE2
∵PQ=3,
∴ME=2a+3-5=2a-2,
∴52=(2a-2)2+a2
解得,a=3或-1.4(舍去)
所以AB=6.
點評:解決本題的難點是作出輔助線構造直角三角形.
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15、如圖,PQ=3,以PQ為直徑的圓與一個以5為半徑的圓相切于點P,正方形ABCD的頂點A、B在大圓上,小圓在正方形的外部且與CD切于點Q.則AB=
6

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n
,其中m、n是整數,求m+n的值.

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n
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