Question

如圖，PQ=10，以PQ為直徑的圓與一個以20為半徑的⊙O內切于點P，與正方形ABCD切于點Q，其中A、B兩點在⊙O上．若AB=m+

n

，其中m、n是整數，求m+n的值．

Answer 1

分析：連接OA，根據兩圓內切可得出P、Q、O共線，設過P、Q、O的直線交AB于R，AB=x，根據圖示數量關系得到RO=RQ-OQ=x-10，利用垂徑定理和勾股定理求出x的值，進而求出m、n的值．

解答：解：連接OA，
∵兩圓內切，
∴P、Q、O共線，設過P、Q、O的直線交AB于R，AB=x，
則OQ=OP-PQ=10，RO=RQ-OQ=x-10，（2分）
∵CD與小圓切于點Q，
∴QR⊥CD，QR⊥AB，
∴根據垂徑定理知AR=

1

2

AB=

1

2

x，（4分）
∴在Rt△OAR中，OA²=OR²+AR²，
即(10-x)2+(

x

2

)2=202，（6分）
解得：x=8±

304

，（8分）
而AB=m+

n

，m、n為整數，
∴m=8，n=304，
∴m+n=312．（10分）
故答案為：312．

點評：此題不僅考查了相切兩圓的性質，還涉及勾股定理和垂徑定理，從圖中得到RO=RQ-OQ是解題的關鍵，要善于觀察圖形的特點．