Question

如圖，PQ=3，以PQ為直徑的圓與一個(gè)以5為半徑的圓相切于點(diǎn)P，正方形ABCD的頂點(diǎn)A、B在大圓上，小圓在正方形的外部且與CD切于點(diǎn)Q．則AB=    ．

Answer 1

【答案】分析：連接MA，MP，延長(zhǎng)PQM與AB交于E，構(gòu)建直角三角形，解出直角三角形即可．
解答：解：設(shè)大圓的圓心為M點(diǎn)，連接MA，MP，MB，連接PM并延長(zhǎng)與AB交于點(diǎn)E，交小圓于Q點(diǎn)，
由對(duì)稱(chēng)性可知P、Q為切點(diǎn)，E為AB的中點(diǎn)；
設(shè)AB=2a（正方形的邊長(zhǎng)），在直角三角形MAE中，
∵小圓在正方形的外部且與CD切于點(diǎn)Q．
∴PQ⊥CD，
∵CD∥AB，
∴PE⊥AB，
∴AE=BE，
∴AM²=ME²+AE²，
∵PQ=3，
∴ME=2a+3-5=2a-2，
∴5²=（2a-2）²+a²
解得，a=3或-1.4（舍去）
所以AB=6．
點(diǎn)評(píng)：解決本題的難點(diǎn)是作出輔助線(xiàn)構(gòu)造直角三角形．