Question

（2011•花都區二模）如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=8，CD=6，在AB邊上取動點P，連接DP，作PQ⊥DP，使得PQ交射線BC于點E，設AP=x，BE=y．
（1）當BC=4時，試寫出y關于x的函數關系式；
（2）在滿足（1）的條件下，若△APD是等腰三角形時，求BE的長；
（3）在滿足（1）的條件下，點E能否與C點重合？若存在，求出相應的AP的長；若不存在，請說明理由；
（4）當BC在什么范圍內，存在點P，使得PQ經過C（直接寫出結果）．

Answer 1

【答案】分析：（1）可通過構建相似三角形來求解，過D作AB的垂線DH，垂足為H，那么根據AB、CD的長，就能表示出AH、BH、PH的長，然后通過證三角形DPH和PBE相似，得出關于DH、PH、PB、BE的比例關系式，由于BC=DH，因此可得出關于x、y函數關系式．
（2）可分三種情況進行討論；
①當AP=AD時，AD可在直角三角形ADH中，根據AH的長和BC的長用勾股定理得出．那么此時就得出了AP的值即x的值，然后代入（1）的函數式即可得出BE的長．
②當AD=PD時，可根據等腰三角形三線合一的特點先求出AH的值，那么AH=PH即可得出x的值，然后代入（1）的函數式求出BE．
③當AP=PD時，可在直角三角形DPH中用含x的式子表示出PD²，然后根據AP²=AD²，求出x的值，然后根據（1）的函數式求出BE的長．
（3）當E與C重合時，BE=AH，然后將（1）中得出的AH的值，代入（1）的函數式中，可得出一個關于x的二元一次方程，那么看看這個方程是否有解即可判斷出是否存在E與C重合的情況．
（4）如果在運動的過程中，始終保持∠DPC=90°，那么以DC為直徑的圓會與AB相交或相切，為此DC的中點即圓心到AB的距離會小于等于半徑3．那么BC應滿足的條件應該是0＜BC≤．
解答：解：（1）過D點作DH⊥AB于H，
則四邊形DHBC為矩形，
∴HB=CD=6，∴AH=AB-CD=2．
∵AP=x，∴PH=x-2，
∵∠DPH+∠PDH=90°，∠DPH+∠BPE=90°，
∴∠PDH=∠BPE．
∵∠DHP=∠B=90°，
∴△DPH∽△PEB．
∴，∴，
整理得：y=（x-2）（8-x）=-x²+x-4，
∵在AB邊上取動點P，連接DP，作PQ⊥DP，使得PQ交射線BC于點E，AH=2，
∴2＜x＜6，
即y=-x²+x-4（2＜x＜8）；

（2）直角三角形AHD中，AH=AB-CD=2，DH=BC=4，根據勾股定理可得：AD=2，
要使△APD是等腰三角形，則
情況①：當AP=AD=2，即x=2時：
BE=y=-×（2）²+×2-4=5-9
情況②：當AD=PD時，則AH=PH，
∵AH=2，PH=x-2，∴2=x-2，解得x=4，符合x的取值范圍，
那么：BE=y=-×4²+×4-4=2
情況③：當AP=PD時，則AP²=PD²，
∴x²=4²+（x-2）²，解得x=5，符合x的取值范圍，
那么：BE=y=-×5²+×5-4=2

（3）在滿足（1）的條件下，若存在點E能與C點重合，
則y=-x²+x-4=4，整理得：x²-10x+32=0
∵△=（-10）²-4×32＜0，∴原方程無實數解，
∴在滿足（1）的條件下，不存在點E與C點重合．

（4）在滿足0＜BC≤時，存在點P，使得PQ經過C．
點評：本題主要考查了直角梯形的性質，相似三角形的判定和性質以及二次函數的綜合應用等知識點，通過構建相似三角形來得出二次函數是解題的關鍵．