Question

已知：如圖，點P是⊙O外的一點，PB與⊙O相交于點A、B，PD與⊙O相交于C、D，AB=CD．
求證：（1）PO平分∠BPD；
（2）PA=PC．

Answer 1

分析：（1）過點O作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分別為E、F，根據AB=CD可知OE=OF，進而可知PO平分∠BPD；
（2）先根據全等三角形的判定定理得出Rt△POE≌Rt△POF，再由垂徑定理可得出AE=CF，再根據PE-AE=PF-CF即可得出結論．

解答：證明：（1）過點O作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分別為E、F，
∵AB=CD，
∴OE=OF，
∴PO平分∠BPD；

（2）在Rt△POE與Rt△POF中，
∵OP=OP，OE=OF，
∴Rt△POE≌Rt△POF，
∴PE=PF，
∵AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD，E、F分別為垂足，
∴AE=

1

2

AB，
CF=

1

2

CD，
∴AE=CF，
∴PE-AE=PF-CF，即PA=PC．

點評：本題考查的是垂徑定理、勾股定理、全等三角形的判定與性質及角平分線的判定，涉及面較廣，難度適中．