Question

已知，正方形ABCD的邊長為6，點E為BC的中點，點F在AB邊上，且∠EDF＝45°．

（1）利用畫圖工具，在右圖中畫出滿足條件的圖形；

（2）猜想tan∠ADF的值，并寫出求解過程．

Answer 1

（1）作圖見試題解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）根據題意畫出圖形，進一步作出輔助線，利用三角形全等，勾股定理，以及正方形的性質解決問題即可．

（2）在BA的延長線上截取AG=CE，連接DG，證得△AGD ≌ △CED和△GDF≌△EDF得出結論．

試題解析：（1）如圖1．

（2）猜想tan∠ADF的值為，求解過程如下：如圖2．

在BA的延長線上截取AG=CE，連接DG，∵ 四邊形ABCD是正方形，∴ AD=CD=BC=AB=6，∠AF=∠ABC=∠ADC=∠BCD = 90°，∴ ∠GAD = 90°，∴ △AGD ≌ △CED，∴ ∠GDA=∠EDC ，GD=ED，AG=CE，∵ ∠FDE=45°，∴ ∠ADF+∠EDC=45°，∴ ∠ADF+∠GDA =45°，∴ ∠GDF=∠EDF ，∵ DF = DF，∴ △GDF≌△EDF ．∴ GF =EF，設AF=x， 則FB=6-x，∵ 點E為BC的中點，∴ BE=EC=3，∴ AG=3，∴ FG=EF=3+x，在Rt△BEF中，∠B =90°，由勾股定理，得 ，∴ ，∴ x=2，∴ AF=2．∴ 在Rt△ADF中，tan∠ADF=．

考點：1．正方形的性質；2．勾股定理．