Question

如圖，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中點，
（1）求證：BC=DE；
（2）連接AD、BE，探究：當△ABC滿足什么條件時，四邊形DBEA是矩形？并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)中點的定義可得EC=AC，然后得到DB=EC，然后證明四邊形BCED是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對邊相等即可得證；
（2）同（1）的方法可證四邊形DBEA是平行四邊形，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出∠BEA=90°，根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形推出即可．
解答：（1）證明：∵E是AC的中點，
∴EC=AC，
∵DB=AC，
∴DB=EC，
又∵DB∥AC，
∴四邊形BCED是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形），
∴BC=DE；

（2）解：△ABC滿足AB=BC時，四邊形DBEA是矩形．
理由如下：∵E是AC的中點，
∴AE=AC，
∵DB=AC，
∴DB=AE，
又∵DB∥AC，
∴四邊形DBEA是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形），
∵AB=BC，E為AC中點，
∴∠AEB=90°，
∴平行四邊形DBEA是矩形，
即△ABC滿足AB=BC時，四邊形DBEA是矩形．
點評：本題考查了矩形的判定，平行四邊形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，題目難度不大，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形與矩形的聯(lián)系是解題的關(guān)鍵．