Question

如圖，在等腰△ABC中AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于點D，點P是BA延長線上一點，點O是線段AD上一點，OP=OC，OP與AC相交與點M，則下列結論：
①點O是△PBC的外心；②△MAO∽△MPC；③AC=AO+AP；④S_△ABC=

4

5

S_{四邊形AOCP}．
其中正確的有（　　）

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：①連接OB，根據AD⊥BC，AB=AC，可知AD是CB中垂線，即可證明OB=OC，即可得OB=OC=OP，即可得點O是△PBC的外心；
②易證得△OPC是等邊三角形，即可得∠OAM=∠CPM=60°，又由對頂角相等，即可證得△MAO∽△MPC；
③首先在AC上截取AE=PA，易得△APE是等邊三角形，繼而利用證得△OPA≌△CPE，即可得AC=AO+AP；
④過點C作CH⊥AB于H，易得S_△ABC=

1

2

AB•CH，S_{四邊形AOCP}=S_△ACP+S_△AOC=

1

2

AP•CH+

1

2

OA•CD=

1

2

AP•CH+

1

2

OA•CH=

1

2

CH•（AP+OA）=

1

2

CH•AC，即可得S_△ABC=S_{四邊形AOCP}．

解答：解：①連接OB，
∵在等腰△ABC中AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
∴OB=OC，
∵OP=OC，
∴點O是△PBC的外心；
故①正確；
②∵在等腰△ABC中AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠ABC=∠ACB=

180°-∠BAC

2

=30°，
∴∠AOC=2∠ABC=60°，
∵OP=OC，
∴△OPC是等邊三角形，
∴∠OPC=60°，
∵∠OAM=

1

2

∠BAC=60°，
∴∠OAM=∠CPM，
∵∠AMO=∠CMP，
∴△MAO∽△MPC；
故②正確；
③在AC上截取AE=PA，
∵∠PAE=180°-∠BAC=60°，
∴△APE是等邊三角形，
∴∠PEA=∠APE=60°，PE=PA，
∴∠APO+∠OPE=60°，
∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°，
∴∠APO=∠CPE，
∵OP=CP，
在△OPA和△CPE中，

PA=PE  ∠APO=∠CPE  OP=CP

，
∴△OPA≌△CPE（SAS），
∴AO=CE，
∴AC=AE+CE=AO+AP；
故③正確；
④過點C作CH⊥AB于H，
∵∠PAC=∠DAC=60°，AD⊥BC，
∴CH=CD，
∴S_△ABC=

1

2

AB•CH，S_{四邊形AOCP}=S_△ACP+S_△AOC=

1

2

AP•CH+

1

2

OA•CD=

1

2

AP•CH+

1

2

OA•CH=

1

2

CH•（AP+OA）=

1

2

CH•AC，
∵AB=AC，
∴S_△ABC=S_{四邊形AOCP}．
故④錯誤．
故選C．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質、等腰三角形的性質以及三角形外接圓的知識．此題綜合性很強，難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．