Question

已知：如圖1，在面積為3的正方形ABCD中，E、F分別是BC和CD邊上的兩點，AE⊥BF于點G，且BE=1．
（1）求證：△ABE≌△BCF；
（2）求出△ABE和△BCF重疊部分（即△BEG）的面積；
（3）現將△ABE繞點A逆時針方向旋轉到△AB′E′（如圖2），使點E落在CD邊上的點E′處，問△ABE在旋轉前后與△BCF重疊部分的面積是否發生了變化？請說明理由．

Answer 1

（1）證明見解析（2）（3）沒有變化，理由見解析

（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC。∴∠ABF+∠CBF=90°。
∵AE⊥BF，∴∠ABF+∠BAE=90°。∴∠BAE=∠CBF。
在△ABE和△BCF中，∵∠ABE=∠BCF，AB=BC，∠BAE=∠CBF，
∴△ABE≌△BCF（ASA）。 
（2）解：∵正方形面積為3，∴AB=。
在△BGE與△ABE中，∵∠GBE=∠BAE，∠EGB=∠EBA=90°，∴△BGE∽△ABE。
∴。
又∵BE=1，∴AE²=AB²+BE²=3+1=4。
∴。
（3）解：沒有變化。理由如下：
∵AB=，BE=1，∴。∴∠BAE=30°。
∵AB′=AD，∠AB′E′=∠ADE'=90°，AE′= AE′，∴Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′，
∴∠DAE′=∠B′AE′=∠BAE=30°。
∴AB′與AE在同一直線上，即BF與AB′的交點是G。
設BF與AE′的交點為H，
則∠BAG=∠HAG=30°，而∠AGB=∠AGH=90°，AG= AG，∴△BAG≌△HAG。
∴。
∴△ABE在旋轉前后與△BCF重疊部分的面積沒有變化。
（1）由四邊形ABCD是正方形，可得∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC，又由AE⊥BF，由同角的余角相等，即可證得∠BAE=∠CBF，然后利用ASA，即可判定：△ABE≌△BCF。
（2）由正方形ABCD的面積等于3，即可求得此正方形的邊長，由在△BGE與△ABE中，∠GBE=∠BAE，∠EGB=∠EBA=90°，可證得△BGE∽△ABE，由相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得答案。
（3）由正切函數，求得∠BAE=30°，易證得Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′，可得AB′與AE在同一直線上，即BF與AB′的交點是G，然后設BF與AE′的交點為H，可證得△BAG≌△HAG，從而證得結論