Question

（1）如圖1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D、E在BC上，∠DAE=45°，為了探究BD、DE、CE之間的等量關系，現將△AEC繞A順時針旋轉90°后成△AFB，連接DF，經探究，你所得到的BD、DE、CE之間的等量關系式是______．（無須證明）

（2）如圖2，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，D、E在BC上，∠DAE=60°、∠ADE=45°，試仿照（1）的方法，利用圖形的旋轉變換，探究BD、DE、CE之間的等量關系，并證明你的結論．

Answer 1

解：（1）線段BD、DE、CE之間的等量關系式是：BD²+CE²=DE²；
理由：∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABD=∠ACE=45°，由旋轉的性質可知，△AEC≌△AFB，
∴∠ABF=∠ACE=45°，FB=CE
∴∠FBD=∠ABF+∠ABD=90°旋轉角∠FAE=90°，又∠DAE=45°，
故∠FAD=∠FAE-∠DAE=45°，
易證△AFD≌△AED，故FD=DE，
在Rt△FBD中，由勾股定理得：BD²+BF²=DF²；
即：BD²+CE²=DE²．

（2）仿照（1）可證，△AEC≌△AFB，
故BF=CE，△AFD≌△AED，故FD=DE，
∵∠ADE=45°，
∴∠ADF=45°，故∠BDF=90°，
在Rt△BDF中，由勾股定理，得BF²=BD²+DF²，
∴CE²=BD²+DE²．
分析：（1）將△AEC繞A順時針旋轉90°后成△AFB，可證△AEC≌△AFB，故BF=CE，旋轉角∠FAE=90°，又∠DAE=45°，故∠FAD=∠FAE-∠DAE=45°，易證△AFD≌△AED，故FD=DE，因為△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，所以∠ABC=∠FAB=45°，從而可得∠FAD=90°，在Rt△FBD中，由勾股定理得線段BD、DE、CE之間的等量關系式；
（2）方法同（2），由∠ADE=45°可得∠ADF=45°，故∠BDF=90°，斜邊BF=CE，直角邊DF=DE，由勾股定理建立等量關系．
點評：本題考查了旋轉的性質，全等三角形的證明及勾股定理的運用．