Question

【題目】已知四邊形ABCD內接于⊙O，∠DAB＝90°

（1）如圖①，若∠ACB＝60°，AB＝4，求⊙O的直徑；

（2）如圖②，若AD≠AB，點C為弧DB的中點且AD＝m，AB＝n，求AC的長．

Answer 1

【答案】（1）8；（2）m+n

【解析】

（1）由圓周角定理可得∠ACB＝∠ADB＝60°，由三角函數可求BD的長，即可求⊙O的直徑；

（2）由題意可得DB＝CD，通過證明△DEC∽△DAB，可得，可得DE＝m，EC＝n，即可求得AC＝AE+EC＝m+n．

解：（1）如圖，連接BD，

∵∠DAB＝90°

∴BD是直徑，

∵∠DAB＝90°，∠ACB＝∠ADB＝60°，AB＝4，

∴sin∠ADB＝

∴DB＝＝8

∴⊙O的直徑為8

（2）如圖，連接BD，過點D作DE⊥AC于點E，

∵∠DAB＝90°

∴BD是直徑，

∴∠BCD＝90°

∵點C為弧DB的中點

∴∠DAC＝∠CAB＝45°

∴CD＝BC，

∴DB＝CD

∵∠DCA＝∠ABD，∠DEC＝∠DAB＝90°

∴△DEC∽△DAB

∴

∴＝

∴DE＝m，EC＝n，

∵∠DAC＝45°，DE⊥AC

∴AE＝DE＝m

∴AC＝AE+EC＝m+n