Question

【題目】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的外接圓，點D是上一點，過點C作⊙O的切線PC，直線PC交BA的延長線于點P，交BD的延長線于點E．

（1）求證：∠PCA＝∠PBC；

（2）若PC＝8，PA＝4，∠ECD＝∠PCA，以點C為圓心，半徑為5作⊙C，試判斷⊙C與直線BD的位置關系．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）相交，理由見解析.

【解析】

（1）根據切線的性質得到∠PCO＝90°，根據余角的性質得到∠PCA＝∠BCO，由OB=OC可得∠PBC＝∠BCO，進一步即得結論；

（2）先證明△PCA∽∠PBC，再根據相似三角形的性質求得AB的長和的值，進而可由勾股定理求得AC與BC的長，然后再證明△ABC∽△CBE，根據相似三角形的性質即可求得圓心O到BD的距離，再與圓的半徑比較即得結論．

解：（1）∵∠ACB＝90°，

∴∠ACO+∠BCO＝90°，

∵PC是⊙O的切線，

∴∠PCO＝90°，

∴∠PCA+∠ACO＝90°，

∴∠PCA＝∠BCO，

∵OC＝OB，

∴∠PBC＝∠BCO，

∴∠PCA＝∠PBC；

（2）∵∠PCA＝∠PBC，∠P＝∠P，

∴△PCA∽∠PBC，

∴，即，

∴AB＝12，，

∴設AC＝k，BC＝2k，則AB＝＝12，

∴k＝，

∴AC＝，BC＝，

∵∠DCE＝∠PCA，

∴∠DCE＝∠ABC，

∵∠CDE＝∠BAC，∠BAC+∠ABC＝90°，

∴∠DCE+∠CDE＝90°，

∴∠CED＝90°，

∴CE⊥BD，

∴OC∥BE，

∴∠BCO＝∠CBE＝∠CBO，

∴△ABC∽△CBE，

∴，∴ ，

解得：CE＝，即圓心O到BD的距離為，

∵⊙C的半徑為5，5＞，

∴⊙C與直線BD的位置關系是相交．