Question

如圖，△ABC內接于⊙O，外角∠BAM的平分線與⊙O交于點D，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，下列結論：①AE=AF；②；③BE=CF；④DF為⊙O的切線．其中正確的是（ ）

A．①②④
B．②③④
C．①③④
D．①②③

Answer 1

【答案】分析：根據HL定理以及外角的性質和圓心角定理，分別進行判斷即可得出答案．
解答：解：連接BD，CD，
∵△ABC內接于⊙O，外角∠BAM的平分線與⊙O交于點D，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，
∴DF=DE，
∵在Rt△ADF和Rt△ADE中，
，
∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL），
∴AE=AF，
故①正確；
∵∠ABC+∠ACB=∠BAF，
∠BAD=∠DAF，
∴∠BAD=（∠ABC+∠ACB），
∴=，
∴②，故②正確；
∵，
∴BD=CD，
∵DE=DF，
在Rt△CDF和Rt△BDE中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），
∴BE=CF，故③正確；
無法證明DF為⊙O的切線，故④選項錯誤，
故①②③正確，
故選：D．
點評：此題主要考查了角平分線的性質以及全等三角形的判定等知識，根據已知得出∠BAD=（∠ABC+∠ACB）進而得到是解題關鍵．