Question

如圖1，一輛汽車的背面，有一種特殊形狀的刮雨器，忽略刮雨器的寬度可抽象為一條折線OAB，如圖2所示，量得連桿OA長為10cm，雨刮桿AB長為48cm，∠OAB=120⁰．若啟動一次刮雨器，雨刮桿AB正好掃到水平線CD的位置，如圖3所示．

（1）求雨刮桿AB旋轉的最大角度及O、B兩點之間的距離；（結果精確到0.01）

（2）求雨刮桿AB掃過的最大面積．（結果保留π的整數(shù)倍）

（參考數(shù)據(jù)：sin60°=，cos60°=，tan60°=，≈26.851，可使用科學計算器）

 

Answer 1

【答案】

解：（1）∵從點A 旋轉到點C為180⁰，

∴雨刮桿AB旋轉的最大角度為180⁰。

連接OB，過O點作AB的垂線交BA的延長線于EH，

∵∠OAB=120^0°，∴∠OAE=60^°。

在Rt△OAE中，∵∠OAE=60^0°，OA=10，

∴，

。

∵AB=48，∴EB=AE+AB=53。

在Rt△OEB中，∵OE= ，EB=53，

∴（cm）。

∴O、B兩點之間的距離為53.70 cm。

（2）∵雨刮桿AB旋轉180°得到CD，即△OCD與△OAB關于點O中心對稱，

∴△BAO≌△OCD。∴S_△BAO=S_△OCD。

∴雨刮桿AB掃過的最大面積S=π(OB²－OA²) =1392π（cm²）。

【解析】

試題分析：（1）AB旋轉的最大角度為180°；在△OAB中，已知兩邊及其夾角，可求出另外兩角和一邊，只不過它不是直角三角形，需要轉化為直角三角形來求解，由∠OAB=120⁰想到作AB邊上的高，得到一個含60⁰角的Rt△OAE和一個非特殊角的Rt△OEB。在Rt△OAE中，已知∠OAE=60⁰，斜邊OA=10，可求出OE、AE的長，從而求得Rt△OEB中EB的長，再由勾股定理求出斜邊OB的長。

 （2）根據(jù)旋轉的性質可知，雨刮桿AB掃過的最大面積就是一個半圓環(huán)的面積（以OB、OA為半徑的半圓面積之差）。