Question

如圖1，一輛汽車的背面，有一種特殊性狀的刮雨器，忽略刮雨器的寬度可抽象為一條折線OAB，如圖2所示，量得連桿OA長為10cm，雨刮桿AB長為48cm，∠OAB=120°．若啟動一次刮雨器，雨刮桿AB正好掃到水平線CD的位置，如圖3所示．
（1）求雨刮桿AB旋轉的最大角度及O、B兩點之間的距離；（結果精確到0.01）
（2）求雨刮桿AB掃過的最大面積．（結果保留π的整數倍）（參考數據：sin60°=，cos60°=，tan60°=，≈26.851，可使用科學記算器）

Answer 1

解：（1）如圖所示：A點轉到C點，B點轉到D點，啟動一次刮雨器，雨刮桿AB正好掃到水平線CD的位置，
故雨刮桿AB旋轉的最大角度為：180°，
過點O作OE⊥BA，交BA延長線于點E，連接BO，
∵∠OAB=120°，
∴∠OAE=60°，
∴∠EOA=30°，
∵OA長為10cm，
∴EA=OA=5（cm），
∴EO==5（cm），
∵AB長為48cm，
∴EB=48+5=53（cm），
∴BO===2≈53.70（cm）；
答：雨刮桿AB旋轉的最大角度為180°，O、B兩點之間的距離為53.70cm；

（2）∵雨刮桿AB旋轉180°得到CD，即△OCD與△OAB關于點O中心對稱，
∴△BAO≌△DCO，∴S△BAO=S△DCO，
∴雨刮桿AB掃過的最大面積S=π（OB²-OA²）=1392π（cm²）．
答：雨刮桿AB掃過的最大面積為1392πcm²．
分析：（1）根據平行線的性質得出雨刮桿AB旋轉的最大角度，再利用銳角三角函數關系和勾股定理求出EO，AE，BO的長即可；
（2）根據雨刮桿AB掃過的最大面積即為以BO為半徑的半圓，進而得出答案即可．
點評：此題主要考查了解直角三角形的應用以及勾股定理和扇形面積求法、勾股定理等知識，利用平行線的性質得出旋轉的最大角是解題關鍵．