Question

已知：拋物線經過坐標原點．

（1）求拋物線的解析式和頂點B的坐標；

（2）設點A是拋物線與軸的另一個交點，試在軸上確定一點P，使PA+PB最短，并求出點P的坐標；

（3）過點A作AC∥BP交軸于點C，求到直線AP、AC、CP距離相等的點的坐標．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）∵ 拋物線經過坐標原點,

∴ =0. 解得 .

∵ ，∴  ∴ …1分

∴ .  ………………………….2分

（2）令，得=0，

解得 .  ∴ ………..3分

∴點A關于軸的對稱點的坐標為.

聯結，直線與軸的交點即為所求點P.

可求得直線的解析式：.  ∴  ……………………………4分

 

（3）到直線AP、AC、CP距離相等的點有四個．

如圖，由勾股定理得，所以△PAC為等邊三角形．

易證軸所在直線平分∠PAC，BP是△PAC的一個外角的平分線．作∠PCA的平分線，交軸于點，交過A點的平行線于y軸的直線于點，作△PAC的∠PCA相鄰外角的平分線，交于點，反向延長C交軸于點．可得點就是到直線AP、AC、CP距離相等的點．可證△AP 、△AC、 △PC均為等邊三角形．可求得：①，所以點M₁的坐標為；…………5分

 

②，所以點M₂的坐標為；………………………………....6分③點M₃與點M₂關于x軸對稱，所以點M₃的坐標為；………………..…..7分

④點與點A關于y軸對稱，所以點的坐標為．

綜上所述，到直線AP、AC、CP距離相等的點的坐標分別為,,,．…………………………….. 8分

 

【解析】略