Question

已知：拋物線經過坐標原點．
（1）求拋物線的解析式和頂點B的坐標；
（2）設點A是拋物線與x軸的另一個交點，試在y軸上確定一點P，使PA+PB最短，并求出點P的坐標；
（3）過點A作AD∥BP交y軸于點D，求到直線AP、AD、CP距離相等的點的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）由拋物線過原點得到k²+k=0，且k≠0，求出k的值，即可得到拋物線的解析式，化成頂點式即可求出頂點坐標；
（2）當y=0時，求出x的值，即得到A的坐標，進一步求出A關于Y軸的對稱點C的坐標，設直線BC的解析式是y=kx+b，把B、C的坐標代入解析式即可求出直線BC的解析式，求出直線BC與Y軸的交點即可；
（3）證出Y軸是∠APC的角平分線和X軸是∠DAP的角平分線，兩線的交點O就是符合條件的點；同樣作∠DAP的外角∠EAP的平分線和∠CPA的外角∠FPA的平分線，其交點M也符合要求，求出M的坐標即可．
解答：（1）解：∵拋物線經過坐標原點，
∴k²+k=0，
解得：k=0（舍去），k=-1，
∴拋物線的解析式是y=-x²+2x，
∴y=-x²+2x，
=-（x-）²+3，
∴頂點B的坐標是（，3），
答：拋物線的解析式是y=-x²+2x，頂點B的坐標是（，3）；

（2）解：當y=0時-x²+2x=0，
解得：x₁=0，x₂=2，
∴A的坐標是（2，0），
A關于y軸的對稱點C的坐標是C（-2，0），
設直線BC的解析式是y=kx+b，
把B（，3），C（-2，0）代入得：，
解得：，
∴直線BC的解析式是y=x+2，
當x=0時，y=2，
∴點P的坐標是（0，2），
答：點P的坐標是（0，2）．

（3）解：∵A、C關于y軸對稱，P在Y軸上，
∴AP=CP，
∵∠CAP=∠ACP，x軸⊥y軸，
∴y軸是∠APC的角平分線，
即y軸上任意一點到AP、CP的距離都相等，
∵AD∥PC，
∴∠DAC=∠ACP，
∴∠DAC=∠CAP，
∴x軸是∠DAP的角平分線，
即x軸上任意一點到AP、AD的距離都相等，
∴x軸與y軸的交點O到AP、AD、CP距離相等，
∴點的坐標是（0，0），
如圖∠DAP的外角∠EAP的平分線和∠CPA的外角∠FPA的平分線的交點M也符合要求，
根據作圖條件能得到矩形MAOP，
即點M的坐標是（2，2），
到直線AP、AD、CP距離相等的點的坐標是（0，0）和（2，2），
答：到直線AP、AD、CP距離相等的點的坐標是（0，0）和（2，2）．
點評：本題主要考查了用待定系數法求一次函數和二次函數的解析式，解二元一次方程組，平行線的性質，角平分線的性質，等腰三角形的性質，二次函數的頂點式等知識點，熟練地運用這些性質進行計算是解此題的關鍵，此題是一個綜合性很強的題目，有一定的難度，但題型較好．