Question

已知：拋物線經過坐標原點。
（1）求拋物線的解析式和頂點B的坐標；
（2）設點A是拋物線與x軸的另一個交點，試在y軸上確定一點P，使PA+PB最短，并求出點P的坐標；
（3）過點A作AC∥BP交y軸于點C，求到直線AP、AC、CP距離相等的點的坐標。

Answer 1

解：（1）∵拋物線經過坐標原點， ∴k2+k=0， 解得：k1=0，k2=-1， ∵k≠0 ∴k=-1 ∴， ∴ （2）令y=0，得， 解得：x1=0，x2=， ∴， A關于y軸的對稱點C的坐標是， 聯結A′B，直線A′B與y軸的交點即為所求點P， 可求得直線的解析式：， ∴P（0，2）； （3）到直線AP、AC、CP距離相等的點有四個， 如圖，由勾股定理得PC=PA=AC=4，所以△PAC為等邊三角形， 易證x軸所在直線平分∠PAC，BP是△PAC的一個外角的平分線,作∠PCA的平分線，交x軸于點M1，交過A點的平行線于y軸的直線于點M2，作△PAC的∠PCA相鄰外角的平分線，交AM2于點M3，反向延長CM3交x軸于點M4，可得點M1、M2、M3、M4就是到直線AP、AC、CP距離相等的點，可證△APM2、△ACM3、△PCM4均為等邊三角形,可求得： ①，所以點M1的坐標為； ②，所以點M2的坐標為； ③點M3與點M2關于x軸對稱，所以點M3的坐標為； ④點M4與點A關于y軸對稱，所以點M4的坐標為， 綜上所述，到直線AP、AC、CP距離相等的點的坐標分別為，，，。