Question

如圖，已知○為坐標原點，∠AOB＝30°，∠ABO＝90°，且點A的坐標為(2，0)．

(1)求點B的坐標；

(2)若二次函數y＝ax＋bx＋c的圖象經過A、B、O三點，求此二次函數的解析式；

(3)在(2)中的二次函數圖象的OB段(不包括點O、B)上，是否存在一點C，使得四邊形ABCO的面積最大？若存在，求出這個最大值及此時點C的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)在Rt△OAB中，∵∠AOB＝30°，∴OB＝． 　　過點B作BD垂直于x軸，垂足為D，則OD＝，BD＝，∴點B的坐標為(，)．　3分 　　(2)將A(2，0)、B(，)、O(0，0)三點的坐標代入y＝ax2＋bx＋c，得　1分 　　解有a＝，b＝，c＝0． 　　∴所求二次函數解析式是y＝x2＋x．　2分 　　(3)設存在點C(x，x2＋x)(其中0＜x＜)，使四邊形ABCO面積最大． 　　∵△OAB面積為定值， 　　∴只要△OBC面積最大，四邊形ABCO面積就最大．　1分 　　過點C作x軸的垂線CE，垂足為E，交OB于點F，則 　　S△OBC＝S△OCF ＋S△BCF＝＝， 　　而|CF|＝yC－yF＝， 　　∴S△OBC＝．　3分 　　∴當x＝時，△OBC面積最大，最大面積為．　1分 　　此時，點C坐標為()，四邊形ABCO的面積為．　1分