Question

已知：如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為⊙O的直徑，弦CD交AB于E，
∠BCD＝∠BAC .
（1）求證：AC＝AD；
（2）過點C作直線CF，交AB的延長線于點F，若∠BCF＝30°,則結論“CF一定是⊙O的切線”是否正確？若正確，請證明；若不正確，請舉反例.

Answer 1

（1）證明見解析（2）不正確，反例見解析

（1）證明：∵∠BCD＝∠BAC，∴弧BC＝弧BD。
∵ AB為⊙O的直徑，∴AB⊥CD，CE＝DE。
∴AC＝AD。
（2）解：不正確，如當∠CAB＝20°時，CF不是⊙O的切線。
如圖， 連接OC。

∵ OC＝OA，∴∠OCA＝20°。
∵∠ACB＝90°，∴∠OCB＝70°。
又∵∠BCF＝30°，∴∠FCO＝100°。
∴CO與FC不垂直.。∴此時CF不是⊙O的切線.。
（1）連接AD．根據∠BCD=∠BAC，∠CBE=∠ABC，證出△CBE∽△ABC，可得∠BEC=90°，于是∠D=∠CBA=∠ACD，故AC=AD。
（2）不正確�？闪睢螩AB=20°，連接OC，據此推出∠OCF≠90°，從而證出∠BCF=30°時“CF不一定是⊙O的切線”