Question

如圖，△ABC是等邊三角形，BD是中線，P是直線BC上一點．(1) 若CP=CD，求證：△DBP是等腰三角形；(2) 在圖①中建立以△ABC的邊BC的中點為原點，BC所在直線為x軸，BC邊上的高所在直線為y軸的平面直角坐標系，如圖②，已知等邊△ABC的邊長為2，AO=，在x軸上是否存在除點P以外的點Q，使△BDQ是等腰三角形？如果存在，請求出Q點的坐標；如果不存在，請說明理由．

 

Answer 1

.證明：∵△ABC是等邊三角形 ∴∠ABC=∠ACB=60° ∵BD是中線  ∴∠DBC=30°

∵CP=CD  ∴∠CPD=∠CDP  又∵∠ACB=60°∴∠CPD=30°∴∠CPD=∠DBC

∴DB=DP即△DBP是等腰三角形．

(2) 解：在x軸上存在除點P以外的點Q，使△BDQ是等腰三角形

①若點P在x軸負半軸上，且BP=BD  ∵BD=  ∴BP=

∴OP=   ∴點P₁（，0）②若點P在x軸上，且BP=PD

∵∠PBD=∠PDB=30° ∴∠DPC=60°又∠PCD=60°∴PC=DC=1

而OC=1  ∴OP=0  ∴點P₂（0，0）

③若點P在x軸正半軸上，且BP=BD   ∴BP=    而OB=1

∴OP=    ∴點P₃（，0）

解析:略