Question

17．在一次數學活動課上，老師組織大家利用矩形進行圖形變換的探究活動．
（1）第一小組的同學將矩形紙片ABCD按如下順序進行操作：對折、展平，得折痕EF（如圖1）；再沿GC折疊，使點B落在EF上的點B′處（如圖2），請求出∠B′GC的度數．
（2）第二小組的同學，在一個矩形紙片上按照圖3的方式剪下△ABC，其中BA=BC，將△ABC沿著直線AC的方向依次進行平移變換，每次均移動AC的長度，得到了△CDE、△EFG和△GHI，如圖4．已知AH=AI，AC長為a，現以AD、AF和AH為三邊構成一個新三角形，已知這個新三角形面積小于15$\sqrt{15}$，請你幫助該小組求出a可能的最大整數值．

Answer 1

分析 （1）根據矩形的性質和折疊的性質得到△BB'C為等邊三角形，得到答案；
（2）分別取CE、EG、GI的中點P、Q、R，連接DP、FQ、HR、AD、AF、AH，根據勾股定理的逆定理證明新三角形為直角三角形，根據三角形的面積公式計算即可．

解答 解：（1）如圖2，連接BB'，由題意得EF垂直平分BC，故BB'=B'C，
由翻折可得，B'C=BC，
∴△BB'C為等邊三角形，
∴∠B'CB=60°，
∴∠B'CG=30°，
∴∠B'GC=60°；
（2）如圖4，分別取CE、EG、GI的中點P、Q、R，連接DP、FQ、HR、AD、AF、AH，
∵△ABC中，BA=BC，
根據平移變換的性質，△CDE、△EFG和△GHI都是等腰三角形，
∴DP⊥CE，FQ⊥EG，HR⊥GI．
在Rt△AHR中，AH=AI=4a，AH²=HR²+AR²，HR²=$\frac{15}{4}$a²，
則DP²=FQ²=HR²=$\frac{15}{4}$a²，
AD²=AP²+DP²=6a²，AF²=AQ²+FQ²=10a²，
新三角形三邊長為4a、$\sqrt{6}$a、$\sqrt{10}$a．
∵AH²=AD²+AF²，
∴新三角形為直角三角形，
其面積為$\frac{1}{2}$$\sqrt{6}$a×$\sqrt{10}$a=$\sqrt{15}$a²．
∵$\sqrt{15}$a²＜15$\sqrt{15}$，
∴a²＜15，
∴a的最大整數值為3．

點評 本題考查的是折疊的性質、矩形的性質、等腰三角形的性質以及勾股定理的逆定理的應用，掌握矩形的性質、等腰三角形的三線合一是解題的關鍵．