Question

（2013•珠海）已知，在平面直角坐標系xOy中，點A在x軸負半軸上，點B在y軸正半軸上，OA=OB，函數y=-

8

x

的圖象與線段AB交于M點，且AM=BM．
（1）求點M的坐標；
（2）求直線AB的解析式．

Answer 1

分析：（1）過點M作MC⊥x軸，MD⊥y軸，根據M為AB的中點，MC∥OB，MD∥OA，利用平行線分線段成比例得到點C和點D分別為OA與OB的中點，從而得到MC=MD，設出點M的坐標代入反比例函數解析式中，求出a的值即可得到點M的坐標；
（2）根據（1）中求出的點M的坐標得到MC與MD的長，從而求出OA與OB的長，得到點A與點B的坐標，設出一次函數的解析式，把點A與點B的坐標分別代入解析式中求出k與b的值，確定出直線AB的表達式．

解答：解：（1）過點M作MC⊥x軸，MD⊥y軸，
∵AM=BM，
∴點M為AB的中點，
∵MC⊥x軸，MD⊥y軸，
∴MC∥OB，MD∥OA，
∴點C和點D分別為OA與OB的中點，
∴MC=MD，
則點M的坐標可以表示為（-a，a），
把M（-a，a）代入函數y=-

8

x

中，
解得a=2

2

，
則點M的坐標為（-2

2

，2

2

）；

（2）∵則點M的坐標為（-2

2

，2

2

），
∴MC=2

2

，MD=2

2

，
∴OA=OB=2MC=4

2

，
∴A（-4

2

，0），B（0，4

2

），
設直線AB的解析式為y=kx+b，
把點A（-4

2

，0）和B（0，4

2

）分別代入y=kx+b中得

-4 2 k+b=0 b=4 2

，
解得：

k=1 b=4 2

．
則直線AB的解析式為y=x+4

2

．

點評：此題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，平行線分線段成比例，以及中位線定理，用待定系數法確定函數的解析式，是常用的一種解題方法．同學們要熟練掌握這種方法．