Question

已知一直角梯形的上底長為3，下底長為7，且兩條對角線長都是整數，則該直角梯形的面積是

 

．

Answer 1

分析：已知是直角梯形，可知上底和下底分別是兩個直角三角形的兩個直角邊．設兩條對角線分別為x和y，直角梯形的高為h．根據勾股定理：①3²+h²=x²；②7²+h²=y²，從上述二式得出x和y的關系，（x+y）（y-x）=40．由于x和y二者是整數，可知x+y和y-x都是整數．又由于40=1×40=2×20=4×10=5×8，y＞7，因此x=9，y=11，從而求解．

解答：解：設兩條對角線分別為x和y，直角梯形的高為h．
根據勾股定理：①3²+h²=x²；②7²+h²=y²，
②-①，得（x+y）（y-x）=40．
又x和y二者是整數，y＞7，
所以x=9，y=11，
則h=6

2

，
則梯形的面積是

1

2

（3+7）×6

2

=30

2

．
故答案為30

2

．

點評：解決此題的關鍵是根據兩條對角線長都是整數求得兩條對角線的值，從而根據勾股定理求得直角梯形的高．