Question

如圖，已知一等腰梯形，其底為a和b，高為h
（1）在梯形的對稱軸上求作點P，使從點P看兩腰的視角為直角；
（2）求點P到兩底邊的距離；
（3）在什么條件下可作出P點？

Answer 1

解：（1）以CD為直徑做半圓交MN與點P，即為所求；

（2）設P到BC的距離為PN=x，
則：CD²=PD²+PC²=（MD²+MP²）²+（PN²+NC²）=+（h-x）²+x²+，
又CD²=MN²+=h²+，
∴+（h-x）²+x²+=h²+．
整理得4x²-4hx+ab=0，
解得：PM=x=；

（3）求作P點的作圖是否可以實現，顯然取決于方程4x²-4hx+ab=0是否有實數解，
即取決于△=16（h²-ab），
當h²＞ab時，△＞0，即可以作出兩點，
當h²=ab時，△=0，即可以作出一點，
當h²＜ab時，△＜0，作圓不能實現．
分析：（1）從點P看兩腰的視角為直角即∠DPC為直角即P在以CD為直徑的圓上；
（2）可設P到BC的距離為PN=x，在△CDP中，CD²=PD²+PC²，由勾股定理可求出P到BC底邊的距離；
（3）P點的作圖是否可以實現，顯然取決于方程4x²-4hx+ab=0是否有實數解，即取決于△=16（h²-ab），
點評：本題主要考查了等腰梯形的性質，難度較大，關鍵將問題與圓結合，利用圓的性質特點解決問題．