Question

【題目】已知：如圖，已知⊙O的半徑為1，菱形ABCD的三個頂點A、B、D在⊙O上，且CD與⊙O相切．
（1）求證：BC與⊙O相切；
（2）求陰影部分面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連結OB、OD、OC，

∵ABCD是菱形，

∴CD=CB，

∵OC=OC，OD=OB，

∴△OCD≌△OCB，

∴∠ODC=∠OBC，

∵CD與⊙O相切，∴OD⊥CD，

∴∠OBC=∠ODC=90°，

即OB⊥BC，點B在⊙O上，

∴BC與⊙O相切．

（2）解：∵ABCD是菱形，

∴∠A=∠DCB，

∵∠DOB與∠A所對的弧都是 ，

∴∠DOB=2∠A，

由（1）知∠DOB+∠C=180°，

∴∠DOB=120°，∠DOC=60°，

∵OD=1，∴OC=2，DC=

∴S陰影=2S△DOC﹣S扇形OBD=2× ×1× ﹣ = ﹣ π．

【解析】（1）連結OB、OD、OC，只要證明△OCD≌△OCB，推出∠ODC=∠OBC，由CD與⊙O相切推出OD⊥CD，推出∠OBC=∠ODC=90°，由此即可證明；（2）根據S陰影=2S△DOC﹣S扇形OBD計算即可；
【考點精析】通過靈活運用菱形的性質和扇形面積計算公式，掌握菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半；在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形；扇形面積S=π（R2-r2）即可以解答此題．