Question

設m是不小于-1的實數，關于x的方程x²+2（m-2）x+m²-3m+3=0有兩個不相等的實數根x₁、x₂，
（1）若x₁²+x₂²=6，求m值；
（2）求的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先根據根的判別式求出m的取值范圍，利用根與系數的關系，求出符合條件的m的值．
（2）把利用根與系數的關系得到的關系式代入代數式，細心化簡，結合m的取值范圍求出代數式的最大值．
解答：解：∵方程有兩個不相等的實數根，
∴△=b²-4ac=4（m-2）²-4（m²-3m+3）=-4m+4＞0，
∴m＜1，
結合題意知：-1≤m＜1．
（1）∵x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=4（m-2）²-2（m²-3m+3）=2m²-10m+10=6
∴，
∵-1≤m＜1，
∴；

（2）=
=（-1≤m＜1）．
∴當m=-1時，式子取最大值為10．
點評：本題的計算量比較大，需要很細心的求解．用到一元二次方程的根的判別式△=b²-4ac來求出m的取值范圍；利用根與系數的關系x₁+x₂=，x₁x₂=來化簡代數式的值．