Question

設m是不小于-1的實數，使得關于x的方程x²+2（m-2）x+m²-3m+3=0的兩個不相等的實數根x₁，x₂．求：若x₁²+x₂²=6，求m的值．

Answer 1

分析：根據一元二次方程的根的判別式△=b²-4ac＞0和已知條件“m是不小于-1的實數”求得m的取值范圍-1≤m＜1；然后利用韋達定理求得x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=6，即2m²-10m+4=0，再利用求根公式求得m的值．

解答：解：∵關于x的方程x²+2（m-2）x+m²-3m+3=0的兩個不相等的實數根，
∴△=4（m-2）²-4（m²-3m+3）＞0，x₁+x₂=-2（m-2），x₁x₂=m²-3m+3，
整理得：-m+1＞0，
解得：m＜1；
又∵m是不小于-1的實數，
∴-1≤m＜1；
∵x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=6，
∴4（m-2）²-2（m²-3m+3）=6，即2m²-10m+4=0，
解得m₁=

5+ 17

2

（不合題意，舍去），m₂=

5- 17

2

．

點評：本題考查了根與系數的關系、根的判別式．將根與系數的關系與代數式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法．