Question

設m是不小于-1的實數，關于x的方程x²+2（m-2）x+m²-3m+3=0有兩個不相等的實數根x₁、x₂，
（1）若x₁²+x₂²=6，求m值；
（2）求

mx12

1-x1

+

mx22

1-x2

的最大值．

Answer 1

分析：（1）首先根據根的判別式求出m的取值范圍，利用根與系數的關系，求出符合條件的m的值．
（2）把利用根與系數的關系得到的關系式代入代數式，細心化簡，結合m的取值范圍求出代數式的最大值．

解答：解：∵方程有兩個不相等的實數根，
∴△=b²-4ac=4（m-2）²-4（m²-3m+3）=-4m+4＞0，
∴m＜1，
結合題意知：-1≤m＜1．
（1）∵x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=4（m-2）²-2（m²-3m+3）=2m²-10m+10=6
∴m=

5± 17

2

，
∵-1≤m＜1，
∴m=

5- 17

2

；

（2）

mx12

1-x1

+

mx22

1-x2

=

m[x12+x22-x1x2(x1+x2)]

(1-x1)(1-x2)

=

m(2m3-8m2+8m-2)

m2-m

=

2m(m-1)(m2-3m+1)

m(m-1)

=2(m2-3m+1)=2(m-

3

2

)2-

5

2

（-1≤m＜1）．
∴當m=-1時，式子取最大值為10．

點評：本題的計算量比較大，需要很細心的求解．用到一元二次方程的根的判別式△=b²-4ac來求出m的取值范圍；利用根與系數的關系x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

來化簡代數式的值．