Question

（1）比較下列兩個算式的結果的大小（在橫線上選填“＞”“=”或“＜”）
①3²+4²

＞

2×3×4；      
②(

1

3

)2+(

1

4

)2

＞

2×

1

3

×

1

4

；
③（-2）²+（-3）²

＞

2×（-2）×（-3）；
④(-

1

3

)2+(-

1

5

)2

＞

2×(-

1

3

)×(-

1

5

)
⑤（-4）²+（-4）²

=

2×（-4）×（-4）…
（2）觀察并歸納（1）中的規律，用含a，b的一個關系式把你的發現表示出來．
（3）若已知ab=8，且a，b都是正數，試求

1

2

a2+

1

2

b2的最小值．

Answer 1

分析：（1）①②③④⑤分別計算兩個算式左右的值即可比較出大小；
（2）根據上式規律得出a²+b²≥2ab；
（3）根據a²+b²≥2ab，得出

1

2

a2+

1

2

b2的最小值為

1

2

×2ab，進而得出即可．

解答：解：（1）①∵3²+4²=25，2×3×4=24，
∴3²+4²＞2×3×4；
②∵（

1

3

）²+（

1

4

）²=

25

144

，2×

1

3

×

1

4

=

24

144

，
∴（

1

3

）²+（

1

4

）²＞2×

1

3

×

1

4

，
③∵（-2）²+（-3）²=4+9=13，2×（-2）×（-3）=12，
∴（-2）²+（-3）²＞2×（-2）×（-3）；
④∵（-

1

3

）²+（-

1

5

）²=

34

225

，2×（-

1

3

）×（-

1

5

）=

30

225

，
∴（-

1

3

）²+（-

1

5

）²＞2×（-

1

3

）×（-

1

5

）；
⑤∵（-4）²+（-4）²=32，2×（-4）×（-4）=32，
∴（-4）²+（-4）²=2×（-4）×（-4）；
故答案為：①＞，②＞，③＞，④＞，⑤=；

（2）觀察（1）中的計算可發現規律：a²+b²≥2ab；

（3）∵a²+b²的最小值是2ab，
∴

1

2

a2+

1

2

b2=

1

2

（a²+b²）=

1

2

×2ab=8．

點評：此題主要考查了完全平方公式的應用，根據已知得出一般規律a²+b²≥2ab是解題關鍵．