Question

已知直線l₁∥l₂，且 l₃、l₄和l₁、l₂分別交于A、B、C、D四點，點P在直線AB上運動．設∠ADP=∠1，∠DPC=∠2，∠BCP=∠3．
（1）如果點P在A、B兩點之間時（如圖），探究∠1、∠2、∠3之間的數量關系．（要求說明理由）；
（2）此時，若∠1=30°，∠3=40°，求∠2的度數；
（3）如果點P在A、B兩點外側時，猜想∠1、∠2、∠3之間的數量關系（點P和A、B不重合）（直接寫出結論）．

Answer 1

分析：（1）∠1、∠2、∠3之間的數量關系為∠2=∠1+∠3，理由為：過P作PM平行于l₁，由l₁∥l₂，利用平行于同一條直線的兩直線平行，得到PM平行于l₂，由PM平行于l₁，利用兩直線平行內錯角相等得到∠1=∠DPM，由PM平行于l₂，利用兩直線平行內錯角相等得到∠3=∠CPM，而∠2=∠DPM+∠CPM，等量代換可得證；
（2）將∠1和∠3的度數代入第一問的結論∠2=∠1+∠3中，即可求出∠2的度數；
（3）∠1、∠2、∠3之間的數量關系為∠3=∠1+∠2，理由為：由l₁∥l₂，利用兩直線平行同位角相等得到∠3=∠4，又∠4為三角形PDQ的外角，利用三角形的外角性質得到∠4=∠1+∠2，等量代換可得證．

解答：解：（1）∠2=∠1+∠3，理由為：
證明：過P作PM∥l₁，如圖所示：

由l₁∥l₂，得到PM∥l₂，
∴∠1=∠DPM，∠3=∠CPM，
∴∠2=∠DPM+∠CPM=∠1+∠3；
（2）∵∠1=30°，∠3=40°，
∴∠2=∠1+∠3=70°；
（3）∠3=∠1+∠2，理由為：

證明：∵l₁∥l₂，
∴∠3=∠4，
又∠4為△PDQ的外角，
∴∠4=∠1+∠2，
則∠3=∠1+∠2．

點評：此題考查了平行線的判定與性質，利用了等量代換的思想，熟練掌握平行線的判定與性質是解本題的關鍵．