Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3

3

，BC=9，點Q是邊AC上的動點（點Q不與點A、C重合），過點Q作QR∥AB，交邊BC于點R，再把△QCR沿著動直線QR翻折得到△QPR，設AQ=x．
（1）求∠PRQ的大小；
（2）當點P落在斜邊AB上時，求x的值；
（3）當點P落在Rt△ABC外部時，PR與AB相交于點E，如果BE=y，請直接寫出y關于x的函數關系式及定義域．

Answer 1

（1）如圖1，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴AB=

AC2+BC2

=

(3 3 )2+92

=6

3

，
∴AC=

1

2

AB，
∴∠B=30°
∵QR∥AB，
∴∠QRC=∠B=30°
∴∠PRQ=30°；

（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°．
∴∠A=60°，同理，可得∠CQR=60°，∠PQR=60°
∴∠AQP=180°-60°-60°，∴∠APQ=60°
∴AQ=PQ=CQ．
∴x=3

3

-x．
∴x=

3

2

3

；

（3）y=3x；定義域：0＜x＜

3

2

3

；
補充：∵由（1）、（2）可知△AFQ是等邊三角形，∠PEF=30°，AB=2AC，
∴AQ=AF=QF，EF=2PF．
根據折疊的性質得到：PF=CQ-QF，
∴AE=AF+EF=AQ+2（CQ-AQ），
∵BE=AB-AE=2AC-[AQ+2（AC-AQ-AQ）]=2AC-AQ-2AC+4AQ=3AQ，
∴y=3x．
∵點P在線段AB上時，x=

3

2

3

，
∴該函數的定義域為0＜x＜

3

2

3

．