Question

23、已知，x_l、x₂是關于x的一元二次方程x²+（2m+1）x+（m²+1）=0的兩個實數根．
（1）用含m的代數式表示x₁²+x₂²；
（2）當x₁²+x₂²=15時，求m的值．

Answer 1

分析：（1）先把所求代數式配方，然后根據根與系數的關系求出關系式；
（2）代入（1）可以得到關于m的方程，然后解方程即可．

解答：解：（1）因為x_l、x₂是關于x的一元二次方程x²+（2m+1）x+（m²+1）=0的兩個實數根，
所以x₁+x₂=-2m-1，x₁x₂=m²+1．
所以x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（-2m-1）²-2（m²+1）=2m²+4m-1；
（2）當x₁²+x₂²=15時，
2m²+4m-1=15，
解得m₁=2，m₂=-4．
當m=-4時，方程無實數解．
故m=2．

點評：此題主要考查了根與系數的關系，將根與系數的關系與代數式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法．最后注意把所求的值代入判別式進行檢驗．