Question

7、已知：x₁，x₂是關于x的方程x²-（m-1）x+2m=0的兩根，且滿足x₁²+x₂²=8，求m的值．

Answer 1

分析：代數式x₁²+x₂²=x₁²+x₂²+2x₁x₂-2x₁x₂=（x₁+x₂）²-2x₁x₂，根據一元二次方程根與系數的關系可以求得兩根的和與兩根的積，代入即可得到關于m的方程，解方程即可求m的值．

解答：解：∵x₁、x₂是方程x²-（m-1）x+2m=0的兩個實數根．
∴x₁+x₂=m-1，x₁•x₂=2m．
又∵x₁²+x₂²=x₁²+x₂²+2x₁x₂-2x₁x₂=（x₁+x₂）²-2x₁x₂．
將x₁+x₂=m-1，x₁•x₂=2m代入得：
x₁²+x₂²=x₁²+x₂²+2x₁x₂-2x₁x₂=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（m-1）²-2×2m=8．
整理得m²-6m-7=0．
解得m=7或-1．
方程的判別式△=（m-1）²-8m
當m=7時，△=36-7×8=-20＜0，則m=7應舍去；
當m=-1時，△=4+8=12＞0．
綜上可得，m=-1．

點評：將根與系數的關系與代數式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法．本題容易出現的錯誤是忽視△≥0這一條件．